14. Математический маятник с периодом колебаний Т отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили без начальной скорости (см. рисунок). Через какое время после этого кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет минимума? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение:

Кинетическая энергия маятника \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), где \( m \) — масса маятника, \( v \) — его скорость.

Кинетическая энергия будет минимальной, когда скорость маятника будет минимальной. Для математического маятника, совершающего колебания, минимальная скорость равна нулю. Это происходит в крайних точках амплитуды (то есть в точках максимального отклонения).

Маятник отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили без начальной скорости. Это означает, что начальный момент времени \( t=0 \) соответствует одной из крайних точек амплитуды.

Период колебаний \( T \) — это время одного полного колебания. Полное колебание включает движение от одной крайней точки до другой, затем обратно до первой крайней точки.

Время, за которое маятник достигнет минимальной кинетической энергии (нулевой скорости) в первый раз после отпускания, будет равно времени движения от одной крайней точки до другой крайней точки. Это составляет половину периода полного колебания.

\( t_{min E_k} = \frac{T}{2} \)

Однако, в вариантах ответа нет \( \frac{T}{2} \). Проверим варианты:

A) \( \frac{T}{8} \)

Б) \( \frac{T}{4} \)

В) \( 16 \frac{1}{T} \) (некорректное выражение)

Г) \( \frac{T}{2} \)

В варианте ответа Г) указано \( \frac{T}{2} \). Время, когда кинетическая энергия достигнет минимума в первый раз, — это время, когда маятник достигнет противоположной крайней точки амплитуды. Это половина периода.

Ответ: Г) \( \frac{T}{2} \)