14. Математическое исследование. Запиши число 10 всеми способами в виде суммы двух чисел и для каждого способа найди произведение слагаемых. Какое произведение самое большое? Проделай то же самое с числом 12. Сформулируй гипотезу и проверь её для какого-нибудь другого числа.

Рассматриваем пары неотрицательных целых слагаемых, не различая порядок слагаемых.

Число 10:

• \(0+10\): произведение \(0\cdot10=0\);
• \(1+9\): \(1\cdot9=9\);
• \(2+8\): \(2\cdot8=16\);
• \(3+7\): \(3\cdot7=21\);
• \(4+6\): \(4\cdot6=24\);
• \(5+5\): \(5\cdot5=25\).

Наибольшее произведение — 25.

Число 12:

• \(0+12\): произведение 0;
• \(1+11\): 11;
• \(2+10\): 20;
• \(3+9\): 27;
• \(4+8\): 32;
• \(5+7\): 35;
• \(6+6\): 36.

Наибольшее произведение — 36.

Гипотеза: среди разложений чётного числа на сумму двух целых неотрицательных чисел наибольшее произведение получается, когда слагаемые равны.

Проверка для числа 8: варианты от \(0+8\) до \(4+4\) дают произведения 0, 7, 12, 15, 16. Наибольшее произведение 16 получается при \(4+4\); гипотеза подтверждается.