14. Михаил Геннадьевич каждый день совершает пешие прогулки. Начинал он с 20-минутной прогулки в первый день и увеличивал время прогулки в каждый следующий день на одинаковое количество минут. Сколько дней в таком режиме совершал прогулки Михаил Геннадьевич, если известно, что в пятый день он гулял в два раза дольше, чем в первый, а на сегодняшний день продолжительность прогулки составляет 2 часа 10 минут?

Пошаговое решение:

1. Определим данные:
   • Время прогулки в первый день (a₁): 20 минут.
   • Время прогулки в пятый день (a₅): в 2 раза дольше, чем в первый, т.е. \( 20 \cdot 2 = 40 \) минут.
   • Продолжительность прогулки «на сегодняшний день» (an): 2 часа 10 минут. Переведем в минуты: \( 2 \cdot 60 + 10 = 120 + 10 = 130 \) минут.
2. Найдем разность арифметической прогрессии (d) — на сколько минут увеличивалась прогулка ежедневно:
   • Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
   • Для пятого дня: \( a_5 = a_1 + (5-1)d \)
   • Подставляем известные значения: \( 40 = 20 + 4d \)
   • Решаем для 'd': \( 4d = 40 - 20 \) \( 4d = 20 \) \( d = \frac{20}{4} = 5 \) минут.
3. Найдем, на какой день продолжительность прогулки составила 130 минут (n):
   • Используем ту же формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \)
   • Подставляем известные значения: \( 130 = 20 + (n-1)5 \)
   • Решаем для 'n': \( 130 - 20 = (n-1)5 \)
   • \( 110 = (n-1)5 \)
   • Делим обе части на 5: \( \frac{110}{5} = n-1 \)
   • \( 22 = n-1 \)
   • \( n = 22 + 1 = 23 \)

Ответ: 23 дня