14. Найдите значение выражения \(\sqrt{48 \cdot 80 \cdot 15}\)

Решение:

Чтобы упростить вычисление, разложим числа под корнем на простые множители.

1. Разложим каждое число:
• \( 48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \)
• \( 80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5 \)
• \( 15 = 3 \cdot 5 \)
2. Перемножим разложения: \( 48 \cdot 80 \cdot 15 = (2^4 \cdot 3) \cdot (2^4 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \)
3. Сгруппируем одинаковые множители: \( = 2^4 \cdot 2^4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \)
4. Возьмём квадратный корень: \( \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 5^2} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} \)
5. При извлечении корня из степени показатель делится на 2: \( 2^{8/2} \cdot 3^{2/2} \cdot 5^{2/2} = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \)
6. Вычислим произведение: \( 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 \cdot 15 = 240 \)

Ответ: 240