14. Несколько юношей соревнуются в количестве мячей, заброшенных в баскетбольную корзину. Первый юноша забросил 3 мяча, а каждый следующий — в 2 раза больше мячей, чем предыдущий. Сколько юношей участвовало в соревнованиях, если в корзину было заброшено 189 мячей?

Решение:

Это задача на сумму геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии \( b_1 = 3 \) (мячи первого юноши).

Знаменатель прогрессии \( q = 2 \) (каждый следующий забрасывает в 2 раза больше).

Сумма \( S_n = 189 \) (всего заброшено мячей).

Формула суммы \( n \) членов геометрической прогрессии:

\( S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \)

Подставим известные значения:

\( 189 = 3 \frac{2^n - 1}{2 - 1} \)

\( 189 = 3 \frac{2^n - 1}{1} \)

\( 189 = 3 (2^n - 1) \)

Разделим обе части на 3:

\( \frac{189}{3} = 2^n - 1 \)

\( 63 = 2^n - 1 \)

Добавим 1 к обеим частям:

\( 63 + 1 = 2^n \)

\( 64 = 2^n \)

Так как \( 64 = 2^6 \), то \( n = 6 \).

Значит, в соревнованиях участвовало 6 юношей.

Ответ: 6