14. Решить задачу: Сумма трех чисел равна 424. Первое число меньше второго в 2 целых 3/7 раза, а третье число составляет 5/14 от первого числа. Найдите каждое из этих трех чисел.

Решение:

Обозначим первое число как \( x \).

Второе число в \( 2\frac{3}{7} = \frac{17}{7} \) раза меньше первого, значит, второе число равно \( x : \frac{17}{7} = \frac{7x}{17} \).

Третье число составляет \( \frac{5}{14} \) от первого, то есть \( \frac{5x}{14} \).

Сумма трех чисел равна 424:

\[ x + \frac{7x}{17} + \frac{5x}{14} = 424 \]

Приведем к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 1, 17, 14 равен \( 17 \times 14 = 238 \).

\[ \frac{238x}{238} + \frac{7x \cdot 14}{17 \cdot 14} + \frac{5x \cdot 17}{14 \cdot 17} = 424 \]

\[ \frac{238x}{238} + \frac{98x}{238} + \frac{85x}{238} = 424 \]

\[ \frac{238x + 98x + 85x}{238} = 424 \]

\[ \frac{421x}{238} = 424 \]

\[ x = \frac{424 \cdot 238}{421} \]

Поскольку \( 424 = 421 + 3 \), это не дает целого числа. Перечитаем условие: "Первое число меньше второго в 2 целых 3/7 раза" означает, что второе число в \( 2\frac{3}{7} = \frac{17}{7} \) раз больше первого, а не меньше. Исправим.

Пусть первое число = \( x \).

Второе число больше первого в \( \frac{17}{7} \) раз, значит, второе число = \( \frac{17x}{7} \).

Третье число = \( \frac{5x}{14} \).

Сумма равна 424:

\[ x + \frac{17x}{7} + \frac{5x}{14} = 424 \]

Общий знаменатель = 14.

\[ \frac{14x}{14} + \frac{17x \cdot 2}{7 \cdot 2} + \frac{5x}{14} = 424 \]

\[ \frac{14x}{14} + \frac{34x}{14} + \frac{5x}{14} = 424 \]

\[ \frac{14x + 34x + 5x}{14} = 424 \]

\[ \frac{53x}{14} = 424 \]

\[ x = \frac{424 \cdot 14}{53} \]

Заметим, что \( 424 = 8 \times 53 \).

\[ x = 8 \cdot 14 = 112 \]

Первое число = 112.

Второе число = \( \frac{17 \cdot 112}{7} = 17 \cdot 16 = 272 \).

Третье число = \( \frac{5 \cdot 112}{14} = 5 \cdot 8 = 40 \).

Проверка: \( 112 + 272 + 40 = 424 \). Верно.

Ответ: Первое число — 112, второе число — 272, третье число — 40.