14. Существует ли 8-вершинный граф, степени вершин которого равны указанным числам (предполагается, что каждые две вершины соединены не более чем одним ребром)? а) 8, 6, 6, 5, 3, 2, 1, 1? б) 7, 7, 5, 4, 4, 2, 2, 1? в) 7, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 1? г) 7, 6, 4, 3, 4, 4, 1, 2?

Для простого графа на 8 вершинах степень любой вершины не больше 7. Кроме того, сумма степеней должна быть чётной, поскольку каждое ребро учитывается у двух концов. Проверим последовательности, применяя также критерий Хавела—Хакими.

1. а) Степень 8 невозможна для вершины простого графа на 8 вершинах. Граф не существует.
2. б) Сумма степеней равна 32, что чётно. Применим Хавела—Хакими:
   \((7,7,5,4,4,2,2,1)\to(6,4,3,3,1,1,0)\to(3,2,2,0,0,0)\to(1,1,-1,0,0)\).
   Появляется отрицательная степень, поэтому граф не существует.
3. в) Сумма степеней равна 24. Применим Хавела—Хакими:
   \((7,3,3,3,3,2,2,1)\to(2,2,2,2,1,1,0)\to(1,1,1,1,0,0)\to(0,0,0,0,0)\).
   Последовательность графична, значит граф существует.
4. г) Сумма степеней равна 31 — нечётное число. По лемме о рукопожатиях такая последовательность степеней невозможна.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да; г) нет.