14. Тип 14. а) Решите уравнение \(2^{4\sin^2 x+1}+2^{4\cos^2 x}=18\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2\pi;\frac{7\pi}{2}]\).

а) Обозначим \(t=2^{4\sin^2 x+1}\). Так как \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), сумма показателей двух степеней равна 5. Поэтому произведение этих степеней равно \(2^5=32\), и уравнение сводится к

\(t+\frac{32}{t}=18\), откуда \(t^2-18t+32=0\).

Решаем квадратное уравнение: \(t=16\) или \(t=2\).

Если \(t=16=2^4\), то \(4\sin^2 x+1=4\), значит, \(\sin^2 x=\frac34\). Тогда \(x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

Если \(t=2=2^1\), то \(4\sin^2 x+1=1\), значит, \(\sin^2 x=0\). Тогда \(x=k\pi\), где \(k\in\mathbb Z\).

Решение уравнения: \(x=k\pi\) или \(x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Отбираем эти значения на отрезке \([2\pi;\frac{7\pi}{2}]\): получаем \(2\pi\), \(\frac{7\pi}{3}\), \(\frac{8\pi}{3}\), \(3\pi\), \(\frac{10\pi}{3}\).

Ответ: а) \(x=k\pi\) или \(x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(2\pi,\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3},3\pi,\frac{10\pi}{3}\).