Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Введём координаты: \(B=(0,0,0)\), \(A=(2,0,0)\), \(C=(0,2,0)\). Поскольку призма прямая и \(AA_1=4\), имеем \(A_1=(2,0,4)\), \(C_1=(0,2,4)\). Пусть \(M=(2,0,t)\), где \(0\le t\le4\).
Условие прямого угла \(BMC_1\) означает перпендикулярность векторов \(\overrightarrow{MB}=(-2,0,-t)\) и \(\overrightarrow{MC_1}=(-2,2,4-t)\). Их скалярное произведение равно нулю:
\(4-t(4-t)=0\), то есть \((t-2)^2=0\). Следовательно, \(M=(2,0,2)\).
а) Направляющие векторы прямых \(MC\) и \(BC_1\) можно взять такими: \(\mathbf u=\overrightarrow{MC}=(-2,2,-2)\), \(\mathbf v=\overrightarrow{BC_1}=(0,2,4)\). Тогда
\(\mathbf u\cdot\mathbf v=-4\), \( |\mathbf u|=2\sqrt3\), \( |\mathbf v|=2\sqrt5\). Косинус острого угла между прямыми равен \(\frac{|\mathbf u\cdot\mathbf v|}{|\mathbf u||\mathbf v|}=\frac1{\sqrt{15}}\). Поэтому \(\tan\varphi=\sqrt{\frac{1-\cos^2\varphi}{\cos^2\varphi}}=\sqrt{14}\).
б) Расстояние между скрещивающимися прямыми найдём по формуле \(d=\frac{|\overrightarrow{MB}\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)|}{|\mathbf u\times\mathbf v|}\). Здесь \(\overrightarrow{MB}=(-2,0,-2)\), а \(\mathbf u\times\mathbf v=(12,8,-4)\). Следовательно,
\(d=\frac{|(-2,0,-2)\cdot(12,8,-4)|}{\sqrt{12^2+8^2+(-4)^2}}=\frac{16}{4\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{14}}7\).
Ответ: а) \(\sqrt{14}\); б) \(\frac{2\sqrt{14}}7\).
