14. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B в прямоугольном треугольнике ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 15.

Так как угол B прямой, стороны AB и BC перпендикулярны. Возьмём B за начало координат, а стороны AB и BC — за оси координат. Пусть H имеет координаты \((u,v)\). Окружность с диаметром BH проходит через B и H; её уравнение: \(x^2+y^2=ux+vy\).

1. На стороне AB, где \(y=0\), кроме B окружность пересекает её в точке \(P=(u,0)\).
2. На стороне BC, где \(x=0\), кроме B окружность пересекает её в точке \(K=(0,v)\).
3. Следовательно, \(PK=\sqrt{u^2+v^2}=BH\).

Так как \(BH=15\), получаем PK = 15.