14. У Кости есть теннисный мячик. Он со всей силы бросил его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 420 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение:

Обозначим высоту первого отскока как \( h_1 = 420 \) см. Высота каждого следующего отскока в 3 раза меньше предыдущей, значит, мы имеем дело с геометрической прогрессией.

Формула для высоты \( n \)-го отскока: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \), где \( q = \frac{1}{3} \).

Высоты отскоков:

• 1-й отскок: \( h_1 = 420 \) см
• 2-й отскок: \( h_2 = 420 \cdot \frac{1}{3} = 140 \) см
• 3-й отскок: \( h_3 = 140 \cdot \frac{1}{3} = \frac{140}{3} \approx 46.67 \) см
• 4-й отскок: \( h_4 = \frac{140}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{140}{9} \approx 15.56 \) см
• 5-й отскок: \( h_5 = \frac{140}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{140}{27} \approx 5.18 \) см

Найдём, после какого отскока высота станет меньше 10 см.

\( h_n < 10 \)

\( 420 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} < 10 \)

\( (\frac{1}{3})^{n-1} < \frac{10}{420} \)

\( (\frac{1}{3})^{n-1} < \frac{1}{42} \)

\( 3^{n-1} > 42 \)

Проверим степени тройки:

• \( 3^1 = 3 \)
• \( 3^2 = 9 \)
• \( 3^3 = 27 \)
• \( 3^4 = 81 \)

Следовательно, \( n-1 = 4 \), что означает \( n = 5 \).

Высота после 5-го отскока будет меньше 10 см.

Ответ: 5