15. В треугольнике KLN проведены медиана LM и высота LH (см. рис. 79). Известно, что KN = 36 и LM = LN. Найдите КН.

Решение:

В треугольнике \( KLN \) проведена медиана \( LM \), значит, \( LM = MN = ½ KN \).

Дано \( KN = 36 \) см, следовательно, \( LM = MN = ½ · 36 = 18 \) см.

Также дано, что \( LM = LN \). Следовательно, \( LN = 18 \) см.

Рассмотрим треугольник \( LHN \). Это прямоугольный треугольник, так как \( LH \) — высота.

В прямоугольном треугольнике \( LHN \) катет \( LH \) лежит напротив угла \( N \), а катет \( HN \) лежит напротив угла \( LNH \). Гипотенуза — \( LN \).

По условию \( LM \) — медиана, а \( LH \) — высота. В треугольнике \( KLN \) медиана \( LM \) равна половине стороны \( KN \), а также \( LM = LN \).

Если медиана, проведенная из вершины \( L \), равна половине противолежащей стороны \( KN \), то треугольник \( KLN \) является прямоугольным, и \( L \) — прямой угол. В этом случае \( LN = KN/2 = 18 \) и \( KL = KN/2 = 18 \), но это противоречит условию \( LM = LN = 18 \) и \( LM = KN/2 \).

Рассмотрим случай, когда \( LM = LN \). Мы знаем, что \( LN = 18 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( LHN \) гипотенуза \( LN = 18 \) см.

Теперь рассмотрим условие \( LM = LN \). Поскольку \( LM \) — медиана, то \( LM = ½ KN = ½ · 36 = 18 \) см.

Следовательно, \( LN = 18 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( LHN \) гипотенуза \( LN = 18 \) см. У нас есть только гипотенуза. Чтобы найти \( KH \), нам нужно больше информации, например, один из острых углов или длину катета \( LH \) или \( HN \).

Однако, если \( LM \) является медианой и \( LM = LN \), это означает, что треугольник \( KLN \) обладает особым свойством. Мы знаем, что \( LM = ½ KN \) и \( LM = LN \), значит \( LN = ½ KN = 18 \) см.

Если в треугольнике медиана, проведенная к стороне, равна половине этой стороны, то этот треугольник прямоугольный, и угол, из которого проведена медиана, прямой. То есть \( ∠ KLN = 90^​ \circ \).

В прямоугольном треугольнике \( KLN \) \( LH \) — высота, проведенная к гипотенузе \( KN \).

Из свойств прямоугольного треугольника, высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки \( KH \) и \( HN \) так, что \( LH^2 = KH · HN \). Также \( KL^2 = KH · KN \) и \( LN^2 = HN · KN \).

Мы знаем \( LN = 18 \) см и \( KN = 36 \) см.

Используем формулу \( LN^2 = HN · KN \):

\( 18^2 = HN · 36 \)

\( 324 = HN · 36 \)

\( HN = ½ \) \( · 36 = 18 \) см.

Теперь найдем \( KH \). Так как \( KN = KH + HN \):

\( 36 = KH + 18 \)

\( KH = 36 - 18 = 18 \) см.

Ответ: 18