14. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

Дано:

• Окружность с центром O.
• Диаметры AD и BC.
• Угол OAB = 70°.

Найти: Угол OCD.

Решение:

• Рассмотрим треугольник OAB. OA и OB - радиусы окружности, поэтому треугольник OAB - равнобедренный.
• Углы при основании равнобедренного треугольника равны: угол OBA = угол OAB = 70°.
• Угол AOC - развернутый (180°), так как AD - диаметр.
• Угол BOC = 180° - (угол OAB + угол OBA) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
• Рассмотрим треугольник OCD. OC и OD - радиусы окружности, поэтому треугольник OCD - равнобедренный.
• Угол ODC = угол OCD.
• Угол BOC и угол OAD - вертикальные углы, поэтому угол OAD = угол BOC = 40°.
• Угол OAD = угол OAB = 70°. Этот вывод противоречит условию, что угол OAB = 70°. Пересмотрим решение.
• Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Угол AOB = 180° - (угол OAB + угол OBA) = 180° - (70° + 70°) = 40°.
• Дуга AB = 40°.
• Угол BOC = 180°.
• Угол AOC = 180° - 40° = 140°.
• Угол OAD = 70°.
• Угол CAD = Угол OAD - Угол OAC.
• Рассмотрим треугольник OAC. OA = OC (радиусы), значит треугольник OAC - равнобедренный.
• Угол OCA = Угол OAC = 70°.
• Угол OCD = Угол OCA = 70°.
• Проверим: Угол AOD - развернутый (180°). Угол AOC = 180° - 70° = 110°.
• В равнобедренном треугольнике OAC, угол OAC = угол OCA = (180° - 110°)/2 = 70°/2 = 35°.
• Снова противоречие. Вернемся к началу.
• Угол OAB = 70°. OA = OB (радиусы), значит треугольник OAB равнобедренный. Угол OBA = Угол OAB = 70°.
• Угол AOB = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.
• BC - диаметр. Угол BOC = 180°.
• Угол AOC = 180° - Угол AOB = 180° - 40° = 140°.
• Рассмотрим треугольник OCD. OC = OD (радиусы), значит треугольник OCD равнобедренный.
• Угол OCD = Угол ODC.
• Угол COD = Угол AOB (вертикальные углы). Угол COD = 40°.
• В равнобедренном треугольнике OCD: Угол OCD = Угол ODC = (180° - Угол COD) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 140° / 2 = 70°.

Ответ: 70