15. В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно √3 / 2. Найдите сторону треугольника.

Дано:

• Окружность с центром O.
• Равносторонний треугольник ABC вписан в окружность.
• Расстояние от O до сторон треугольника (высота, проведенная из центра к стороне) = √3 / 2.

Найти: Сторону треугольника (a).

Решение:

• Центр вписанной окружности в равносторонний треугольник совпадает с центром описанной окружности.
• Расстояние от центра O до сторон треугольника - это радиус вписанной окружности (r).
• Таким образом, r = √3 / 2.
• Для равностороннего треугольника существует формула, связывающая радиус вписанной окружности (r) и сторону (a):

\[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \]

• Подставим известное значение r:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \]

• Умножим обе части уравнения на 2√3, чтобы найти a:

\[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 \sqrt{3} \]

\[ a = (\sqrt{3})^2 \]

\[ a = 3 \]

Ответ: 3