14. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СР. Найдите величину угла В, если DA = 4, а AC = 8. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°.
• CP — высота, проведенная к гипотенузе AB.
• В прямоугольном треугольнике ABC:
• \[ \text{tg}(\angle B) = \frac{AC}{BC} \]
• \[ \text{tg}(\angle A) = \frac{BC}{AC} \]
• В прямоугольном треугольнике APC:
• \[ \text{tg}(\angle PAC) = \frac{PC}{AC} \]
• В прямоугольном треугольнике CPB:
• \[ \text{tg}(\angle B) = \frac{PC}{BC} \]
• Так как угол A и угол B — острые углы прямоугольного треугольника, то A + B = 90°.
• По условию задачи DA = 4 и AC = 8.
• В прямоугольном треугольнике APC, по теореме Пифагора:
• \[ AP^2 + PC^2 = AC^2 \]
• В прямоугольном треугольнике CPB, по теореме Пифагора:
• \[ PB^2 + PC^2 = BC^2 \]
• В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора:
• \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
• \[ AB = AD + DB \]
• Из подобия треугольников APC и CPB (так как оба подобны треугольнику ABC):
• \[ \frac{AC}{AB} = \frac{AP}{AC} \implies AC^2 = AP \cdot AB \]
• \[ 8^2 = AP \cdot (AP + 4) \]
• \[ 64 = AP^2 + 4 AP \]
• \[ AP^2 + 4 AP - 64 = 0 \]
• Решаем квадратное уравнение для AP:
• \[ AP = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-64)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 256}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{272}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{17}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{17} \]
• Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то AP = -2 + 2√17.
• Теперь найдем AB:
• \[ AB = AP + DB \]
• Необходимо найти DB. Используем другое соотношение подобия:
• \[ \frac{BC}{AB} = \frac{PB}{BC} \implies BC^2 = PB \cdot AB \]
• Также из подобия треугольников ABC и CPB:
• \[ \frac{AC}{BC} = \frac{PC}{PB} \]
• И из подобия треугольников ABC и APC:
• \[ \frac{BC}{AC} = \frac{PB}{PC} \]
• В прямоугольном треугольнике ABC:
• \[ \cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} \]
• \[ \cos(\angle A) = \frac{AC}{AB} \]
• Мы имеем AC = 8, DA = 4.
• Воспользуемся соотношением: AC^2 = AD * AB.
• \[ 8^2 = 4 * AB \]
• \[ 64 = 4 * AB \]
• \[ AB = \frac{64}{4} = 16 \]
• Теперь найдем BC, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:
• \[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]
• \[ 8^2 + BC^2 = 16^2 \]
• \[ 64 + BC^2 = 256 \]
• \[ BC^2 = 256 - 64 = 192 \]
• \[ BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3} \]
• Теперь найдем угол B, используя тангенс:
• \[ \text{tg}(\angle B) = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{8\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
• Угол, тангенс которого равен 1/√3, равен 30°.

Ответ: 30