14. Ваня играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй - 4 очка, после третьей - восемь очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Ваня перейдет на следующий уровень?

Решение:

Это задача на геометрическую прогрессию, где первый член (a₁) равен 2, а знаменатель (q) равен 2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле S_n = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1).

1. Формула суммы очков:

   • \[ S_n = 2 \cdot \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2(2^n - 1) \]

2. Необходимое количество очков: 10000

3. Решаем уравнение:

   • \[ 2(2^n - 1) \ge 10000 \]
   • \[ 2^n - 1 \ge 5000 \]
   • \[ 2^n \ge 5001 \]

4. Находим n:

   • \[ 2^{12} = 4096 \]
   • \[ 2^{13} = 8192 \]

   Следовательно, n должно быть равно 13, так как 2¹³ = 8192, что больше 5001.

Ответ: 13 минут