14. Вычислите: \( \frac{3}{4} + 5\frac{1}{4} - (\frac{7}{15} - \frac{10}{21}) - \frac{19}{20} \). Запишите полностью решение и ответ.

Задание 14. Вычисление значения выражения

Вычислим: \( \frac{3}{4} + 5\frac{1}{4} - (\frac{7}{15} - \frac{10}{21}) - \frac{19}{20} \)

Решение:

1. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: \( 5\frac{1}{4} = \frac{5 \times 4 + 1}{4} = \frac{21}{4} \).
2. Выполним сложение первых двух дробей: \( \frac{3}{4} + \frac{21}{4} = \frac{3+21}{4} = \frac{24}{4} = 6 \).
3. Теперь найдём разность дробей в скобках. Приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 21 — это 105 (15 = 3 \(\times\) 5, 21 = 3 \(\times\) 7, НОЗ = 3 \(\times\) 5 \(\times\) 7 = 105).
4. \( \frac{7}{15} = \frac{7 \times 7}{15 \times 7} = \frac{49}{105} \)
5. \( \frac{10}{21} = \frac{10 \times 5}{21 \times 5} = \frac{50}{105} \)
6. \( \frac{49}{105} - \frac{50}{105} = -\frac{1}{105} \).
7. Теперь подставим полученное значение в исходное выражение: \( 6 - (-\frac{1}{105}) - \frac{19}{20} \).
8. Упростим: \( 6 + \frac{1}{105} - \frac{19}{20} \).
9. Приведём к общему знаменателю для 105 и 20. Разложим на множители: 105 = 3 \(\times\) 5 \(\times\) 7, 20 = 2 \(\times\) 2 \(\times\) 5. НОЗ = 2 \(\times\) 2 \(\times\) 3 \(\times\) 5 \(\times\) 7 = 420.
10. \( 6 = \frac{6 \times 420}{420} = \frac{2520}{420} \)
11. \( \frac{1}{105} = \frac{1 \times 4}{105 \times 4} = \frac{4}{420} \)
12. \( \frac{19}{20} = \frac{19 \times 21}{20 \times 21} = \frac{399}{420} \)
13. Сложим и вычтем дроби: \( \frac{2520}{420} + \frac{4}{420} - \frac{399}{420} = \frac{2520 + 4 - 399}{420} = \frac{2524 - 399}{420} = \frac{2125}{420} \).
14. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: \( \frac{2125 \div 5}{420 \div 5} = \frac{425}{84} \).
15. Можно выделить целую часть: \( 425 \div 84 = 5 \) с остатком \( 425 - 5 \times 84 = 425 - 420 = 5 \).
16. Получаем \( 5\frac{5}{84} \).

Ответ: \( 5\frac{5}{84} \).