141. Упростите выражение: 1) (x - 1)(x² + x + 1) + (3 - x)(9 + 3x + x²); 2) (x + 2)(x²-2x+4)-x(x - 3)(x + 3); 3) a(a + 2)(a - 2) - (a-4)(a² + 4a + 16); 4) (a + 1)(a - 1)(a² - a + 1)(a² + a + 1)(a + 1)(a12 + + 1)(a24 + 1).

Решение:

1. 1)

   Воспользуемся формулой разности кубов: \[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \] Воспользуемся формулой суммы кубов: \[ (3 - x)(9 + 3x + x^2) = 3^3 - x^3 = 27 - x^3 \] Теперь сложим два выражения: \[ (x^3 - 1) + (27 - x^3) = 26 \] Ответ: 26

2. 2)

   Воспользуемся формулой разности кубов: \[ (x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8 \] Воспользуемся формулой разности квадратов: \[ x(x - 3)(x + 3) = x(x^2 - 9) = x^3 - 9x \] Теперь вычтем второе выражение из первого: \[ (x^3 + 8) - (x^3 - 9x) = x^3 + 8 - x^3 + 9x = 9x + 8 \] Ответ: 9x + 8

3. 3)

   Воспользуемся формулой разности квадратов: \[ a(a + 2)(a - 2) = a(a^2 - 4) = a^3 - 4a \] Воспользуемся формулой суммы кубов: \[ (a - 4)(a^2 + 4a + 16) = a^3 - 4^3 = a^3 - 64 \] Теперь вычтем второе выражение из первого: \[ (a^3 - 4a) - (a^3 - 64) = a^3 - 4a - a^3 + 64 = 64 - 4a \] Ответ: 64 - 4a

4. 4)

   Воспользуемся формулой разности квадратов неоднократно:

   • \[ (a + 1)(a - 1) = a^2 - 1 \]
   • \[ (a^2 - 1)(a^2 + 1) = a^4 - 1 \]
   • \[ (a^4 - 1)(a^4 + 1) = a^8 - 1 \]
   • \[ (a^8 - 1)(a^8 + 1) = a^{16} - 1 \]

   К сожалению, в задании указана неполная последовательность умножения. Если предположить, что было задумано:

   \[ (a + 1)(a - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)(a^{16} + 1) \] Тогда это будет: \[ (a^2 - 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)(a^{16} + 1) = (a^4 - 1)(a^4 + 1)(a^8 + 1)(a^{16} + 1) = (a^8 - 1)(a^8 + 1)(a^{16} + 1) = (a^{16} - 1)(a^{16} + 1) = a^{32} - 1 \] Но в вашем условии есть еще множители \[ (a^6+1) \] и \[ (a^{24}+1) \]. Если же следовать точно условию, то это будет: \[ (a+1)(a-1)(a^2-a+1)(a^2+a+1) = (a^2-1)(a^4+a^2+1) \] - это не сокращается просто. Если предположить, что было так: \[ (a-1)(a^2+a+1)(a+1)(a^2-a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)(a^{24}+1) \] Тогда: \[ (a^3-1)(a^4+a^2+1) \] - тоже не простая формула. Учитывая структуру задания, вероятнее всего, имелось в виду последовательное применение формулы разности квадратов. Если это так, то при наличии множителей (a+1) и (a-1), а затем (a^2+1), (a^4+1) и т.д., мы получим \[ (a^{2^n} - 1) \]. Без дальнейших уточнений, задача в таком виде некорректна для простого упрощения.