143. Разложите на множители: 1) (a + 7)³ - 8; 2) (a - 2)³ + 27.

Решение:

1. 1)

   Это разность кубов. Формула разности кубов: \[ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) \] Здесь \[ A = a + 7 \] и \[ B = 2 \] (так как \[ 8 = 2^3 \]). Подставляем в формулу: \[ ((a + 7) - 2)((a + 7)^2 + (a + 7) × 2 + 2^2) \] Упростим первое слагаемое в скобках: \[ (a + 7 - 2) = a + 5 \] Упростим второе слагаемое в скобках: \[ (a + 7)^2 + 2(a + 7) + 4 = (a^2 + 14a + 49) + (2a + 14) + 4 \] \[ = a^2 + 14a + 49 + 2a + 14 + 4 \] \[ = a^2 + 16a + 67 \] Итого: \[ (a + 5)(a^2 + 16a + 67) \] Ответ: (a + 5)(a² + 16a + 67)

2. 2)

   Это сумма кубов. Формула суммы кубов: \[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) \] Здесь \[ A = a - 2 \] и \[ B = 3 \] (так как \[ 27 = 3^3 \]). Подставляем в формулу: \[ ((a - 2) + 3)((a - 2)^2 - (a - 2) × 3 + 3^2) \] Упростим первое слагаемое в скобках: \[ (a - 2 + 3) = a + 1 \] Упростим второе слагаемое в скобках: \[ (a - 2)^2 - 3(a - 2) + 9 = (a^2 - 4a + 4) - (3a - 6) + 9 \] \[ = a^2 - 4a + 4 - 3a + 6 + 9 \] \[ = a^2 - 7a + 19 \] Итого: \[ (a + 1)(a^2 - 7a + 19) \] Ответ: (a + 1)(a² - 7a + 19)