146 Пять участков отделены друг от друга заборами (см. план на рис. 40). Можно ли побывать на каждом участке, но при этом перелезть через каждый забор ровно один раз?

Решение:

Задание 146.

Это задача на определение возможности прохождения по графам. Каждый участок можно представить как вершину графа, а забор между участками — как ребро графа.

У нас есть 5 участков (вершин) и заборы между ними (ребра). Нам нужно найти такой путь, чтобы посетить каждую вершину и пройти по каждому ребру ровно один раз. Это задача о Гамильтоновых или Эйлеровых путях.

В данном случае, если мы хотим пройти через каждый забор ровно один раз, нам нужно построить Эйлеров путь или цикл.

Согласно теории графов, Эйлеров путь существует, если в графе есть 0 или 2 вершины с нечетной степенью (то есть, имеющие нечетное количество ребер, выходящих из них). Эйлеров цикл существует, если все вершины имеют четную степень.

Посмотрев на рисунок 40, мы видим, что участки и заборы образуют следующую структуру:

• Центральный участок соединен с четырьмя другими. Его степень равна 4 (четное число).
• Четыре крайних участка соединены с центральным и еще одним соседним крайним участком. Их степень равна 2 (четное число).

Таким образом, все вершины имеют четную степень. Следовательно, существует Эйлеров цикл, который позволяет пройти через каждый забор (ребро) ровно один раз.

Ответ: Да, можно побывать на каждом участке, перелезть через каждый забор ровно один раз.