147. Докажите утверждение: а) произведение любых пяти последовательных чисел делится на 60; б) число, записываемое 80 двойками, 80 единицами и 80 нулями, не может быть точным квадратом.

Среди любых пяти последовательных целых чисел есть число, кратное 5, число, кратное 3, и два чётных числа, одно из которых кратно 4. Поэтому произведение делится на 5, на 3 и на 4. Так как эти множители попарно взаимно просты, произведение делится на их произведение: 60.

Сумма цифр числа равна \(80\cdot2+80\cdot1+80\cdot0=240\). Значит, число делится на 3, но не делится на 9, поскольку 240 не делится на 9. Если бы оно было точным квадратом и делилось на 3, то его корень делился бы на 3, а квадрат — на 9. Получили противоречие.