149. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC: а) AB = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°; б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°; в) AB = 3 см, BC = 3,3 см, ∠A = 48°30′; г) AC = 10,4 см, BC = 5,2 см, ∠B = 62°48′.

Обозначим стороны, лежащие напротив углов A, B и C, соответственно a, b и c. Используем теорему синусов: a / sin A = b / sin B = c / sin C.

а) AB = c = 8 см. ∠C = 180° − 30° − 45° = 105°. Тогда a = 8 · sin 30° / sin 105° ≈ 4,14 см; b = 8 · sin 45° / sin 105° ≈ 5,86 см.

б) AB = c = 5 см. ∠A = 180° − 45° − 60° = 75°. Тогда a = 5 · sin 75° / sin 60° ≈ 5,58 см; b = 5 · sin 45° / sin 60° ≈ 4,08 см.

в) AB = c = 3 см, BC = a = 3,3 см, ∠A = 48°30′. По теореме синусов sin C = 3 · sin 48°30′ / 3,3, откуда ∠C ≈ 42,9°. Второе значение арксинуса невозможно: вместе с ∠A оно превысило бы 180°. Поэтому ∠B ≈ 88,6°, а AC = b = 3,3 · sin 88,6° / sin 48°30′ ≈ 4,41 см.

г) AC = b = 10,4 см, BC = a = 5,2 см, ∠B = 62°48′. sin A = 5,2 · sin 62°48′ / 10,4, поэтому ∠A ≈ 26,4°. Дополнительный угол не подходит, поскольку сумма с ∠B была бы больше 180°. Тогда ∠C ≈ 90,8°, а AB = c = 10,4 · sin 90,8° / sin 62°48′ ≈ 11,68 см.

Ответ: а) ∠C = 105°, AC ≈ 5,86 см, BC ≈ 4,14 см; б) ∠A = 75°, BC ≈ 4,08 см, AC ≈ 5,58 см; в) ∠B ≈ 88,6°, ∠C ≈ 42,9°, AC ≈ 4,41 см; г) ∠A ≈ 26,4°, ∠C ≈ 90,8°, AB ≈ 11,68 см.