15.2. В параллелограмме ABCD AB = 6 см, AD = 8 см и ∠BAD = 60°. 1) Найдите длину высоты BK, проведённой из вершины B к стороне AD, и площадь параллелограмма. 2) Найдите длину большей диагонали параллелограмма. 3) Определите вид треугольника ECD, если точка E принадлежит стороне BC и луч DE — биссектриса угла ADC. 4) Выразите вектор DE через векторы CD и CB. 5) С помощью циркуля и линейки постройте высоту из вершины B к стороне CD. 6)* Введите систему координат так, чтобы точка K была началом координат, а точка A принадлежала оси абсцисс. Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника KAD, в этой системе координат. (Рассмотрите любой из возможных случаев.)

1) Высота к стороне AD равна составляющей стороны AB, перпендикулярной AD: \(BK=AB\sin 60^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\) см.

Площадь параллелограмма: \(S=AD\cdot BK=8\cdot3\sqrt3=24\sqrt3\) см².

2) Большая диагональ соответствует сумме векторов сторон, образующих угол 60°:

\(d^2=AB^2+AD^2+2\cdot AB\cdot AD\cos60^\circ=36+64+48=148\), поэтому \(d=2\sqrt{37}\) см. Другая диагональ равна \(2\sqrt{13}\) см, следовательно, найденная диагональ — большая.

3) Угол ADC равен 120°, поскольку соседние углы параллелограмма supplementary. Зададим координаты: \(A=(0,0), D=(8,0), B=(3,3\sqrt3), C=(11,3\sqrt3)\). Луч биссектрисы из D пересекает BC в точке \(E=(5,3\sqrt3)\). Тогда \(DE=EC=CD=6\) см, следовательно, треугольник ECD равносторонний.

4) Из координат векторов (или разложения по двум сторонам параллелограмма) получаем:

\(\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CD}+\frac34\overrightarrow{CB}\).

5) Ниже показана схема построения высоты. Точка K — основание перпендикуляра из B на CD; BK ⟂ CD.

Для построения циркулем и линейкой проводят через B перпендикуляр к CD; точка пересечения с CD — K.

6) Выберем координаты с осью абсцисс вдоль KA и положительным направлением от K к A. В прямоугольном треугольнике BCD высота из B падает на CD. При указанных длинах получается \(K=(0,0)\), \(A=(\sqrt{84},0)=(2\sqrt{21},0)\), \(D=(\frac{4}{\sqrt7},\frac{12}{\sqrt7})\). Окружность через K, A и D имеет вид \(x^2+y^2+ux+vy=0\). Подстановка A даёт \(u=-2\sqrt{21}\), а подстановка D — \(v=-\frac{8}{\sqrt7}\). Следовательно, уравнение:

\(x^2+y^2-2\sqrt{21}x-\frac{8\sqrt7}{7}y=0\).

Ответ: \(BK=3\sqrt3\) см; \(S=24\sqrt3\) см²; большая диагональ \(2\sqrt{37}\) см; ECD — равносторонний; \(\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{CD}+\frac34\overrightarrow{CB}\).