15.3. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 10 и 6 см, ∠A = 30°. 1) Найдите высоту BE и площадь трапеции. 2) Докажите подобие треугольников AOD и BOC и найдите отношение их периметров, если O — точка пересечения диагоналей трапеции. 3) Найдите площадь треугольника ACD. 4) Выразите вектор BE через векторы AB и AD. 5) При помощи циркуля и линейки постройте среднюю линию трапеции ABCD. 6)* Введите систему координат так, чтобы точка E была началом координат, а точка B принадлежала оси ординат. Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника [конец условия обрезан].

Question

Вопрос:

Фото задания: 15.3. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 10 и 6 см, ∠A = 30°. 1) Найдите высоту BE и…

15.3. В равнобедренной трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 10 и 6 см, ∠A = 30°. 1) Найдите высоту BE и площадь трапеции. 2) Докажите подобие треугольников AOD и BOC и найдите отношение их периметров, если O — точка пересечения диагоналей трапеции. 3) Найдите площадь треугольника ACD. 4) Выразите вектор BE через векторы AB и AD. 5) При помощи циркуля и линейки постройте среднюю линию трапеции ABCD. 6)* Введите систему координат так, чтобы точка E была началом координат, а точка B принадлежала оси ординат. Запишите уравнение окружности, описанной около треугольника [конец условия обрезан].

Accepted Answer

Пусть E — основание высоты из B на AD. В равнобедренной трапеции разность оснований 10 − 6 = 4 см делится поровну у боковых сторон, поэтому проекция AB на AD равна 2 см. Из прямоугольного треугольника ABE:

\(BE=2\tan30^\circ=\frac{2\sqrt3}{3}\) см.

Площадь трапеции:

\(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BE=8\cdot\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{16\sqrt3}{3}\) см².

2) В треугольниках AOD и BOC углы AOD и BOC вертикальные, а углы ADO и BCO равны как накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BD. Значит, треугольники подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих оснований: \(AD/BC=10/6=5/3\). Поэтому отношение периметров \(P_{AOD}:P_{BOC}=5:3\).

3) Высота треугольника ACD к основанию AD равна высоте трапеции. Следовательно, \(S_{ACD}=\frac12\cdot10\cdot\frac{2\sqrt3}{3}=\frac{10\sqrt3}{3}\) см².

4) Так как \(\overrightarrow{AE}=\frac15\overrightarrow{AD}\), имеем \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{AD}\).

5) Отметьте середины боковых сторон AB и CD и соедините их отрезком: это средняя линия трапеции, параллельная основаниям. Схематический чертёж:

6) Текст обрезан после слов «окружности, описанной около треугольника…»: не видно, какой именно треугольник требуется взять. Поэтому уравнение окружности определить нельзя. Пришлите нижнюю часть страницы с окончанием пункта.

Ответ: \(BE=\frac{2\sqrt3}{3}\) см; площадь трапеции \(\frac{16\sqrt3}{3}\) см²; отношение периметров \(5:3\); площадь \(\triangle ACD=\frac{10\sqrt3}{3}\) см²; \(\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{AD}\).