15. (3 балла) Решите уравнение \( \sqrt{x+1} = x-5 \)

Решение:

1. ОДЗ: \( x+1 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge -1 \) и \( x-5 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge 5 \). Объединяя условия, получаем \( x \ge 5 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат:
3. \( (\sqrt{x+1})^2 = (x-5)^2 \)
4. \( x+1 = x^2 - 10x + 25 \)
5. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
6. \( x^2 - 10x - x + 25 - 1 = 0 \)
7. \( x^2 - 11x + 24 = 0 \)
8. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
9. \( D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 121 - 96 = 25 \)
10. Найдем корни:
11. \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
12. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
13. Проверим корни на соответствие ОДЗ (\( x \ge 5 \)).
14. Корень \( x_1 = 8 \) удовлетворяет условию \( x \ge 5 \).
15. Корень \( x_2 = 3 \) не удовлетворяет условию \( x \ge 5 \), поэтому является посторонним.

Ответ: \( x = 8 \).