18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций \( y=x^2 \) и \( y=3x \) и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

1. Найдем точки пересечения графиков функций:
2. Приравняем выражения для \( y \):
3. \( x^2 = 3x \)
4. \( x^2 - 3x = 0 \)
5. \( x(x - 3) = 0 \)
6. Точки пересечения по \( x \) равны \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \).
7. Найдем соответствующие значения \( y \):
8. При \( x=0 \): \( y = 0^2 = 0 \) или \( y = 3 \cdot 0 = 0 \). Точка пересечения: \( (0; 0) \).
9. При \( x=3 \): \( y = 3^2 = 9 \) или \( y = 3 \cdot 3 = 9 \). Точка пересечения: \( (3; 9) \).
10. Определим, какая функция находится выше на интервале \( [0; 3] \).
11. Возьмём пробную точку, например \( x=1 \):
12. Для \( y=x^2 \): \( y = 1^2 = 1 \)
13. Для \( y=3x \): \( y = 3 \cdot 1 = 3 \)
14. Значит, на интервале \( [0; 3] \) график функции \( y = 3x \) находится выше графика функции \( y = x^2 \).
15. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла:
16. Площадь \( S \) находится как интеграл от разности верхней и нижней функций по \( x \) от точки пересечения до точки пересечения:
17. \( S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx \)
18. Найдем первообразную:
19. \( \int (3x - x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \)
20. Вычислим определенный интеграл:
21. \( S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \)
22. \( S = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - (0 - 0) \)
23. \( S = \frac{27}{2} - 9 \)
24. \( S = 13.5 - 9 = 4.5 \)
25. Построение фигуры:
26. Это область, ограниченная параболой \( y=x^2 \) и прямой \( y=3x \), расположенная между точками \( (0; 0) \) и \( (3; 9) \).

Ответ: Площадь фигуры равна \( 4.5 \) квадратных единиц.