15. (3 балла) Решите уравнение \( \sqrt{x-2} = x-8 \)

Решение:

Дано уравнение \( \sqrt{x-2} = x-8 \).

Сначала наложим ограничения:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x-2 \ge 0 \) \(\u\)002B \( x \ge 2 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна корню: \( x-8 \ge 0 \) \(\u\)002B \( x \ge 8 \).

Объединяя ограничения, получаем \( x \ge 8 \).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{x-2})^2 = (x-8)^2 \)

\( x-2 = x^2 - 16x + 64 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 16x - x + 64 + 2 = 0 \)

\( x^2 - 17x + 66 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \u002B 1 \u002B 66 = 289 - 264 = 25 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 5}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Проверим корни на соответствие ограничению \( x \ge 8 \).

Корень \( x_1 = 11 \) удовлетворяет условию \( 11 \ge 8 \).

Корень \( x_2 = 6 \) не удовлетворяет условию \( 6 \ge 8 \).

Сделаем проверку подстановкой в исходное уравнение:

• Для \( x=11 \): \( \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3 \). \( 11-8 = 3 \). \( 3=3 \). Верно.
• Для \( x=6 \): \( \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2 \). \( 6-8 = -2 \). \( 2 ≠ -2 \). Неверно.

Ответ: \( x = 11 \)