18.(3 балла) Найдите объем прямого многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Решение:

Изображенный многогранник является составным. Его можно представить как сумму или разность более простых геометрических тел. В данном случае, проще всего найти объем, представив его как сумму двух прямоугольных параллелепипедов.

Размеры многогранника:

• Высота (вдоль оси z) = 3
• Ширина (вдоль оси y) = 3
• Длина (вдоль оси x) = 5

Можно разбить этот многогранник на два прямоугольных параллелепипеда:

1. Нижний параллелепипед:
• Длина = 3
• Ширина = 3
• Высота = 3
• Объем \( V_1 = 3 \u002B 3 \u002B 3 = 27 \) куб. ед.
2. Верхний параллелепипед:
• Этот параллелепипед выступает над нижним. Его размеры:
• Длина = 5 - 3 = 2 (общая длина 5 минус длина нижнего основания 3)
• Ширина = 2 (указано на рисунке)
• Высота = 3 (та же, что и у нижнего)
• Объем \( V_2 = 2 \u002B 2 \u002B 3 = 12 \) куб. ед.

Общий объем многогранника будет равен сумме объемов этих двух параллелепипедов:

\( V_{общий} = V_1 + V_2 = 27 + 12 = 39 \) куб. ед.

Альтернативный способ:

Можно также представить многогранник как больший параллелепипед, из которого вычли меньший.

1. Большой параллелепипед (с основаниями 5x3 и высотой 3):
• Длина = 5
• Ширина = 3
• Высота = 3
• Объем \( V_{большой} = 5 \u002B 3 \u002B 3 = 45 \) куб. ед.
2. Вырезанный параллелепипед (который не входит в объем):
• Этот параллелепипед находится в задней части верхнего уровня.
• Длина = 5 - 3 = 2
• Ширина = 3 - 2 = 1 (общая ширина 3 минус ширина выступающей части 2)
• Высота = 3
• Объем \( V_{вырезанный} = 2 \u002B 1 \u002B 3 = 6 \) куб. ед.

Общий объем многогранника:

\( V_{общий} = V_{большой} - V_{вырезанный} = 45 - 6 = 39 \) куб. ед.

Ответ: 39