15. Биссектрисы углов С и А треугольника АВС пересекаются в точке Д (см. рис. 4). Найдите ∠ADC (в градусах), если ∠BAC = 67°, а ∠ACB = 53°.

Решение:

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Найдем угол B:

\( \angle B = 180° - \angle BAC - \angle ACB = 180° - 67° - 53° = 180° - 120° = 60° \)

Так как AD — биссектриса угла A, то \( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 67° = 33.5° \).

Так как CD — биссектриса угла C, то \( \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 53° = 26.5° \).

В треугольнике ADC сумма углов равна 180°. Найдем угол ADC:

\( \angle ADC = 180° - \angle CAD - \angle ACD = 180° - 33.5° - 26.5° = 180° - 60° = 120° \)

Ответ: 120°.