15. Диагональ прямоугольника образует угол 57° с одной из его сторон (см. рис. 54). Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая делит их пополам. В прямоугольнике диагонали равны. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и одной диагональю. Один из углов этого треугольника равен \( 90^\text{o} \), другой дан по условию – \( 57^\text{o} \). Третий угол (между диагональю и другой стороной) найдём как \( 180^\text{o} - 90^\text{o} - 57^\text{o} = 33^\text{o} \).

Угол между диагоналями равен сумме углов, образованных пересекающимися диагоналями. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и стороной прямоугольника. Этот треугольник равнобедренный. Углы при основании этого треугольника равны \( 33^\text{o} \).

Острый угол между диагоналями равен \( 180^\text{o} - (33^\text{o} + 33^\text{o}) = 180^\text{o} - 66^\text{o} = 114^\text{o} \). Однако, нас просят найти острый угол. Острый угол между диагоналями равен \( 180^\text{o} - 114^\text{o} = 66^\text{o} \).

Ответ: 66