15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) $1,\frac15,\frac1{25},\ldots$; 2) $\frac13,\frac19,\frac1{27},\ldots$; 3) $-27,-9,-3,\ldots$; 4) $-64,-32,-16,\ldots$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) $1,\frac15,\frac1{25},\ldots$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если её члены положительны и знаменатель удовлетворяет условию $0<q<1$.

\[q=\frac{1/5}{1}=\frac15,\qquad 0<\frac15<1.\] Поэтому прогрессия бесконечно убывает.
\[q=\frac{1/9}{1/3}=\frac13,\qquad 0<\frac13<1.\] Поэтому прогрессия бесконечно убывает.
\[q=\frac{-9}{-27}=\frac13.\] Хотя $0<q<1$, члены прогрессии отрицательны и увеличиваются: $-27<-9<-3$. Поэтому в обычном смысле прогрессия не является убывающей; убывают только модули её членов.
\[q=\frac{-32}{-64}=\frac12.\] Члены также увеличиваются: $-64<-32<-16$. Поэтому в обычном смысле прогрессия не является убывающей; убывают только модули её членов.

Ответ: 1) и 2) — бесконечно убывающие; 3) и 4) — нет в обычном смысле, хотя модули их членов убывают.

15. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) \(1,\frac15,\frac1{25},\ldots\); 2) \(\frac13,\frac19,\frac1{27},\ldots\); 3) \(-27,-9,-3,\ldots\); 4) \(-64,-32,-16,\ldots\).