15. Доказать, что заданная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей: 1) 1; 1/5; 1/25; …; 2) 1/3; 1/9; 1/27; …; 3) −27; −9; −3; …; 4) −64; −32; −16; …

Геометрическая прогрессия бесконечно убывает, если \(|q|<1\).

1. \(q=(1/5)/1=1/5\), а \(|q|=1/5<1\). Прогрессия бесконечно убывает.
2. \(q=(1/9)/(1/3)=1/3\), а \(|q|=1/3<1\). Прогрессия бесконечно убывает.
3. \(q=(-9)/(-27)=1/3\), а \(|q|=1/3<1\). Прогрессия бесконечно убывает.
4. \(q=(-32)/(-64)=1/2\), а \(|q|=1/2<1\). Прогрессия бесконечно убывает.

Ответ: все четыре прогрессии бесконечно убывающие.