15. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения √(n²(n² + 14) − 2(n² − 18)) является натуральным числом.

Упростим подкоренное выражение:

\(n^2(n^2 + 14) - 2(n^2 - 18) = n^4 + 14n^2 - 2n^2 + 36 = n^4 + 12n^2 + 36 = (n^2 + 6)^2.\)

Тогда \(\sqrt{(n^2 + 6)^2} = |n^2 + 6|\). Поскольку натуральное n удовлетворяет \(n^2 + 6 > 0\), получаем \(|n^2 + 6| = n^2 + 6\), что является натуральным числом.

Доказано.