15. Функция φ(x) задана формулой φ(x) = x² − 4x + 1. Вычислите: а) φ(1 + √2) − φ(1 − √2); б) φ(1/(2 + √5)) + φ(1/(2 − √5)).

а) Подставим аргументы и приведём выражение к квадратам:

φ(1 + √2) = (1 + √2)² − 4(1 + √2) + 1 = 1 − 2√2.

φ(1 − √2) = (1 − √2)² − 4(1 − √2) + 1 = 1 + 2√2.

Следовательно, φ(1 + √2) − φ(1 − √2) = (1 − 2√2) − (1 + 2√2) = −4√2.

б) Рационализируем аргументы:

1/(2 + √5) = √5 − 2, поскольку (2 + √5)(√5 − 2) = 1; 1/(2 − √5) = −(2 + √5).

Обозначим эти аргументы a и b. Тогда a + b = −4 и ab = −1, поэтому a² + b² = (a + b)² − 2ab = 16 + 2 = 18.

φ(a) + φ(b) = a² + b² − 4(a + b) + 2 = 18 + 16 + 2 = 36.

Ответ: а) −4√2; б) 36.