15. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на боковое ребро опущен перпендикуляр длинной 6 см. Двугранный угол между боковой гранью и основанием 60°. Найти объем пирамиды.

Решение:

Обозначим высоту пирамиды как \( H \), сторону основания — \( a \), апофему — \( h_a \).

Перпендикуляр, опущенный из основания высоты на боковое ребро, равен 6 см. Этот перпендикуляр является высотой в треугольнике, образованном высотой пирамиды, проекцией бокового ребра на основание и самим боковым ребром.

Двугранный угол между боковой гранью и основанием равен 60°. Апофема \( h_a \) перпендикулярна стороне основания, а линия пересечения боковой грани с основанием (сторона основания) перпендикулярна апофеме. Угол между апофемой и высотой пирамиды равен 60°.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды \( H \), радиусом вписанной окружности \( r \) и апофемой \( h_a \), имеем:

\( · \)

Ответ: 324√3