15. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные (рис. 1), длины которых относятся как 13:15. Их проекции на эту плоскость равны 10 см и 18 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

Решение:

Пусть \( x \) — коэффициент пропорциональности. Тогда длины наклонных равны \( 13x \) и \( 15x \).

По теореме Пифагора, квадрат расстояния от точки до плоскости равен квадрату наклонной минус квадрат проекции:

\( h^2 = (13x)^2 - 10^2 \)

\( h^2 = (15x)^2 - 18^2 \)

Приравниваем:

\( 169x^2 - 100 = 225x^2 - 324 \)

\( 225x^2 - 169x^2 = 324 - 100 \)

\( 56x^2 = 224 \)

\( x^2 = \frac{224}{56} = 4 \)

\( x = 2 \)

Теперь найдем расстояние \( h \):

\( h^2 = (13 \cdot 2)^2 - 100 = 26^2 - 100 = 676 - 100 = 576 \)

\( h = \sqrt{576} = 24 \) см.

Ответ: 24 см.