15. Какова максимальная скорость электронов, выбиваемых из металлической пластины светом с длиной волны 3·10⁻⁷ м, если красная граница фотоэффекта 540 нм. Масса электрона 9,1·10⁻³¹ кг, Постоянная Планка 0,663·10⁻³³ Дж·с, заряд электрона -16·10⁻²⁰ Кл.

Решение:

Для решения задачи используем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

\[ E_{кв} = A_{вых} + E_{k.max} \]
Где:

• \( E_{кв} \) — энергия фотона, падающего на пластину.
• \( A_{вых} \) — работа выхода электрона из металла.
• \( E_{k.max} \) — максимальная кинетическая энергия выбитого электрона.

Сначала рассчитаем энергию фотона \( E_{кв} \):

\[ E_{кв} = \frac{hc}{\lambda} \]
Где:

• \( h \) — постоянная Планка: \( h = 0.663 \cdot 10^{-33} \) Дж·с
• \( c \) — скорость света: \( c \approx 3 \cdot 10^8 \) м/с
• \( \lambda \) — длина волны падающего света: \( \lambda = 3 \cdot 10^{-7} \) м

\( E_{кв} = \frac{(0.663 \cdot 10^{-33} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{3 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \)
\( E_{кв} = 0.663 \cdot 10^{-33} \cdot 10^8 \cdot 10^7 \text{ Дж} \)
\( E_{кв} = 0.663 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \)

Далее рассчитаем работу выхода \( A_{вых} \). Красная граница фотоэффекта \( \lambda_0 = 540 \text{ нм} = 540 · 10^{-9} \text{ м} = 5.4 · 10^{-7} \text{ м} \).

\( A_{вых} = \frac{hc}{\lambda_0} \)

\( A_{вых} = \frac{(0.663 \cdot 10^{-33} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{5.4 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \)
\( A_{вых} = \frac{1.989 \cdot 10^{-25}}{5.4 \cdot 10^{-7}} \text{ Дж} \)
\( A_{вых} \approx 0.368 \cdot 10^{-18} \text{ Дж} \)

Теперь найдем максимальную кинетическую энергию \( E_{k.max} \):

\( E_{k.max} = E_{кв} - A_{вых} \)
\( E_{k.max} = 0.663 · 10^{-18} \text{ Дж} - 0.368 · 10^{-18} \text{ Дж} \)
\( E_{k.max} = (0.663 - 0.368) · 10^{-18} \text{ Дж} \)
\( E_{k.max} = 0.295 · 10^{-18} \text{ Дж} \)

Максимальная кинетическая энергия связана со скоростью следующим образом:

\( E_{k.max} = \frac{1}{2} m v_{max}^2 \)

Отсюда найдем максимальную скорость \( v_{max} \):

\( v_{max}^2 = \frac{2 E_{k.max}}{m} \)

Где:

• \( m \) — масса электрона: \( m = 9.1 · 10^{-31} \text{ кг} \)

\( v_{max}^2 = \frac{2 · (0.295 · 10^{-18} \text{ Дж})}{9.1 · 10^{-31} \text{ кг}} \)
\( v_{max}^2 = \frac{0.59 · 10^{-18}}{9.1 · 10^{-31}} \text{ м}^2/\text{с}^2 \)
\( v_{max}^2 \approx 0.0648 · 10^{13} \text{ м}^2/\text{с}^2 \)
\( v_{max}^2 \approx 6.48 · 10^{11} \text{ м}^2/\text{с}^2 \)

Теперь найдем \( v_{max} \):

\( v_{max} = \sqrt{6.48 · 10^{11}} \text{ м/с} \)
\( v_{max} = \sqrt{64.8 · 10^{10}} \text{ м/с} \)
\( v_{max} \approx 8.05 · 10^5 \text{ м/с} \)

Ответ: максимальная скорость электронов составляет приблизительно \( 8.05 · 10^5 \text{ м/с} \).