15. Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Дано:

• Расстояние по течению: $$ S_1 = 72 $$ км
• Расстояние против течения: $$ S_2 = 54 $$ км
• Общее время: $$ T = 9 $$ часов
• Скорость течения реки: $$ V_{тек} = 5 $$ км/ч

Найти:

• Собственную скорость катера: $$ V_{соб} $$

Решение:

1. Обозначим: Пусть $$ V_{соб} $$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
2. Скорость по течению: Скорость катера по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $$ V_1 = V_{соб} + V_{тек} = V_{соб} + 5 $$ км/ч.
3. Скорость против течения: Скорость катера против течения равна разности его собственной скорости и скорости течения: $$ V_2 = V_{соб} - V_{тек} = V_{соб} - 5 $$ км/ч.
4. Время в пути: Время = Расстояние / Скорость.
• Время по течению: $$ T_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{72}{V_{соб} + 5} $$ часов.
• Время против течения: $$ T_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{54}{V_{соб} - 5} $$ часов.
5. Общее время: Общее время в пути равно сумме времени по течению и против течения: $$ T_1 + T_2 = T $$.
6. $$ \frac{72}{V_{соб} + 5} + \frac{54}{V_{соб} - 5} = 9 $$.
7. Решим уравнение: Приведём к общему знаменателю: $$ 72(V_{соб} - 5) + 54(V_{соб} + 5) = 9(V_{соб} + 5)(V_{соб} - 5) $$.
8. Раскроем скобки: $$ 72V_{соб} - 360 + 54V_{соб} + 270 = 9(V_{соб}^2 - 25) $$.
9. Упростим: $$ 126V_{соб} - 90 = 9V_{соб}^2 - 225 $$.
10. Перенесём всё в одну сторону: $$ 9V_{соб}^2 - 126V_{соб} - 90 + 225 = 0 $$.
11. $$ 9V_{соб}^2 - 126V_{соб} + 135 = 0 $$.
12. Разделим на 9: $$ V_{соб}^2 - 14V_{соб} + 15 = 0 $$.
13. Решим квадратное уравнение (используем дискриминант $$ D = b^2 - 4ac $$):
• $$ D = (-14)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 196 - 60 = 136 $$.
• $$ \sqrt{D} = \sqrt{136} = \sqrt{4 \times 34} = 2\sqrt{34} \approx 11,66 $$.
• $$ V_{соб} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$.
• $$ V_{соб1} = \frac{14 + 2\sqrt{34}}{2} = 7 + \sqrt{34} \approx 7 + 5,83 = 12,83 $$ км/ч.
• $$ V_{соб2} = \frac{14 - 2\sqrt{34}}{2} = 7 - \sqrt{34} \approx 7 - 5,83 = 1,17 $$ км/ч.
14. Проверим: Скорость катера против течения должна быть положительной, то есть $$ V_{соб} - 5 > 0 $$.
• Для $$ V_{соб1}  12,83 $$: $$ 12,83 - 5 = 7,83 > 0 $$. Этот корень подходит.
• Для $$ V_{соб2}  1,17 $$: $$ 1,17 - 5 = -3,83 < 0 $$. Этот корень не подходит.

Ответ: $$ V_{соб} \approx 12,83 $$ км/ч