15. На координатной плоскости изображены векторы \(\vec a\) и \(\vec b\). Найдите косинус угла между ними.

Считываем координаты начала и конца каждого вектора по сетке. Для \(\vec a\): начало \((3;3)\), конец \((10;4)\), поэтому \(\vec a=(7;1)\). Для \(\vec b\): начало \((2;8)\), конец \((1;1)\), поэтому \(\vec b=(-1;-7)\).

Используем формулу косинуса угла между векторами: \(\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}\).

Скалярное произведение: \(\vec a\cdot\vec b=7\cdot(-1)+1\cdot(-7)=-14\).

Длины: \(|\vec a|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}\), \(|\vec b|=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=\sqrt{50}\).

Тогда \(\cos\varphi=\dfrac{-14}{\sqrt{50}\sqrt{50}}=-\dfrac{14}{50}=-\dfrac{7}{25}\).

Ответ: \(-\dfrac{7}{25}\).