15) На рисунке параллелограмм ABCD; H — середина CD (DH = HC), CH = 3, а BH — биссектриса угла ABC. Найдите периметр параллелограмма.

Так как H — середина CD и CH = 3, получаем \(CD=DH+HC=6\). Следовательно, \(AB=CD=6\).

Поскольку BH — биссектриса угла ABC, \(\angle ABH=\angle HBC\). При этом AD ∥ BC, поэтому \(\angle HBC=\angle BHD\). Значит, \(\angle ABH=\angle BHD\), и треугольник ABH равнобедренный: \(AH=AB=6\).

Точки A и D лежат на прямой, а H равноудалена от A и D: действительно, в параллелограмме \(AD=BC\), и из параллельности AD и BC следует, что треугольник BHC равен по углам и соответствующим сторонам треугольнику DHA; поэтому \(AD=AH+HD=6+3=9\). Тогда

\(P=2(AB+AD)=2(6+9)=30\).

Ответ: 30.