15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=3, DC=8. Площадь треугольника АВС равна 66. Найдите площадь треугольника BCD.

Решение:

Треугольники АВС и BCD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к основанию АС.

Пусть эта высота равна \( h \).

Площадь треугольника АВС находится по формуле: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · AC · h \).

Длина основания АС равна сумме длин отрезков AD и DC:

\[ AC = AD + DC = 3 + 8 = 11 \]

Известна площадь треугольника АВС: \( S_{ABC} = 66 \).

Подставим известные значения в формулу площади:

\[ 66 = \frac{1}{2} · 11 · h \]

\[ 132 = 11 · h \]

\[ h = \frac{132}{11} = 12 \]

Теперь найдем площадь треугольника BCD. Его основание — отрезок DC, а высота — \( h = 12 \).

\[ S_{BCD} = \frac{1}{2} · DC · h \]

\[ S_{BCD} = \frac{1}{2} · 8 · 12 \]

\[ S_{BCD} = 4 · 12 = 48 \]

Ответ: 48