15. Параллельные прямые a, b и c пересекают стороны угла MNP (рис. 60). Найдите отрезки BE и CF, если AN = 2 см, NC = 3 см, DF = 8 см, AB = 4 см.

По рисунку точки A, B, E лежат на одной стороне угла, а C, D, F — на другой. Прямые a, b и c параллельны.

1. Расстояние между прямыми a и b на одной стороне угла равно \(AB=4\) см. По теореме о пропорциональных отрезках на сторонах угла соответствующий отрезок на другой стороне также пропорционален расстоянию от вершины: \(\dfrac{AB}{NC?}\) напрямую не применяется; сначала используем подобие треугольников, образованных параллельными прямыми.

2. На правой стороне \(ND=NC+CD\), а соответствие по подобию для прямых a и b даёт \(\dfrac{NB}{NA}=\dfrac{ND}{NC}\). Однако данных о NB или CD отдельно нет. Вместо этого сопоставим отрезки между параллельными прямыми: \(\dfrac{AB}{NC} = \dfrac{BE}{DF}\) неверно, так как AB относится к промежутку от a до b, тогда как NC — от вершины до a. Следовательно, применяем пропорцию промежутков: \(\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{CF}{CD}\), но CD также неизвестен.

Из имеющихся данных величины \(BE\) и \(CF\) не определяются однозначно: известны расстояния от вершины N до прямой a на правой стороне (NC = 3 см), промежуток между a и b на левой стороне (AB = 4 см), и промежуток от b до c на правой стороне (DF = 8 см), но не задан промежуток между a и b на правой стороне либо положение точки D относительно C.

Чтобы найти оба искомых отрезка, нужны дополнительные данные — например, длина CD или положение точки B либо D, задающее соответствующее отношение.