15. Решите неравенство \(5^{\log_{1/5}\log_3(-2x)}<3^{\log_{1/3}\log_5(-2x)}\).

Область определения: \(-2x>0\), а логарифмы во внешних показателях должны быть определены, поэтому \(\log_3(-2x)>0\) и \(\log_5(-2x)>0\). Это равносильно \(-2x>1\), то есть \(x<-\frac12\).

Положим \(t=-2x>1\). Используя \(a^{\log_{1/a}u}=u^{-1}\), получаем \(5^{\log_{1/5}\log_3t}=\frac1{\log_3t}\) и \(3^{\log_{1/3}\log_5t}=\frac1{\log_5t}\). Неравенство эквивалентно \(\log_3t>\log_5t\).

Так как \(t>1\), это означает \(\frac{\ln t}{\ln3}>\frac{\ln t}{\ln5}\), что верно, поскольку \(\ln3<\ln5\). Следовательно, подходят все значения области определения.

Ответ: \(x\in(-\infty;-\frac12)\).