15. Сторона AB острого треугольника ABC равна 40. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH. Причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, M — середина AB, следовательно, \(AM=MB=20\). Условие \(CM=CB\) означает, что треугольник CMB равнобедренный с основанием MB.

Положим \(A=(0,0)\), \(B=(40,0)\), тогда \(M=(20,0)\). Из равенства \(CM=CB\) следует, что точка C лежит на серединном перпендикуляре к MB, поэтому её абсцисса равна \(30\). Высота CH перпендикулярна AB, значит H имеет ту же абсциссу, что C, и \(AH=30\).

Ответ: 30.