15. Сторона \(AB\) острогоугольного треугольника \(ABC\) равна 36. В треугольнике провели медиану \(CM\) и высоту \(CH\), причём \(CM=CB\). Чему равна длина отрезка \(AH\)?

Пусть \(AH=x\), \(HB=y\), а высота \(CH=h\). Тогда \(x+y=AB=36\).

Из прямоугольных треугольников \(ACH\) и \(BCH\): \(CA^2=x^2+h^2\), \(CB^2=y^2+h^2\). Так как \(M\) — середина \(AB\), имеем \(AM=MB=18\), поэтому \(MH=|x-18|\) и \(CM^2=h^2+(x-18)^2\).

Условие \(CM=CB\) даёт \(h^2+(x-18)^2=h^2+(36-x)^2\). Следовательно, \((x-18)^2=(36-x)^2\), откуда \(x=27\).

Ответ: 27.