15. Сторона \(AB\) остроугольного треугольника \(ABC\) равна 8. В треугольнике провели медиану \(CM\) и высоту \(CH\), причём \(CM=CB\). Чему равна длина отрезка \(AH\)?

Так как \(CM\) — медиана, точка \(M\) является серединой \(AB\):

\(AM=MB=8:2=4\).

Обозначим \(AH=x\). Тогда \(MH=x-4\), а \(HB=8-x\).

Из прямоугольных треугольников \(CMH\) и \(CBH\):

\(CM^2=CH^2+(x-4)^2\),

\(CB^2=CH^2+(8-x)^2\).

По условию \(CM=CB\), значит:

\((x-4)^2=(8-x)^2\).

Так как длины положительны, получаем \(x-4=8-x\), откуда \(2x=12\), \(x=6\).

Ответ: 6