15. Тип 14 № 12963 i Изготовили полую трубу с толщиной стенки 2 см. Найдите радиус трубы, если известно, что длина окружности полой части вдвое меньше длины окружности всей трубы.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии. Она про трубу, но по сути — про окружности.

Дано:

• Толщина стенки трубы: 2 см.
• Длина окружности полой части (внутренней) в 2 раза меньше длины окружности всей трубы (внешней).

Найти:

• Радиус всей трубы (внешний радиус).

Решение:

1. Обозначения:
   Пусть $$R$$ — внешний радиус трубы (радиус всей трубы), а $$r$$ — внутренний радиус трубы (радиус полой части).
2. Связь радиусов:
   Толщина стенки трубы — это разница между внешним и внутренним радиусами.
   То есть, $$R - r = 2$$ см. Отсюда мы можем выразить внутренний радиус: $$r = R - 2$$.
3. Длины окружностей:
   Длина окружности вычисляется по формуле $$C = 2π \times \text{радиус}$$.
   Внешняя окружность: $$C_{внешняя} = 2π R$$.
   Внутренняя окружность: $$C_{внутренняя} = 2π r$$.
4. Условие задачи:
   Нам дано, что длина окружности полой части (внутренней) вдвое меньше длины окружности всей трубы (внешней).
   Запишем это как уравнение: $$C_{внутренняя} = \frac{1}{2} C_{внешняя}$$.
5. Подставляем формулы длин:
   \[ 2π r = \frac{1}{2} (2π R) \]
6. Упрощаем уравнение:
   Мы можем сократить $$2π$$ с обеих сторон уравнения:
   \[ r = \frac{1}{2} R \]
7. Соединяем все вместе:
   Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными ($$R$$ и $$r$$):
   1) $$r = R - 2$$
   2) $$r = \frac{1}{2} R$$
   Приравняем правые части этих уравнений, так как обе равны $$r$$:
   \[ R - 2 = \frac{1}{2} R \]
8. Решаем уравнение относительно R:
   Перенесем все члены с $$R$$ в одну сторону, а числа — в другую:
   \[ R - \frac{1}{2} R = 2 \]
   \[ \frac{1}{2} R = 2 \]
   Умножим обе части на 2, чтобы найти $$R$$:
   \[ R = 2 \times 2 \]
   \[ R = 4 \text{ см} \]

Проверка:
Если внешний радиус $$R = 4$$ см, то внутренний радиус $$r = R - 2 = 4 - 2 = 2$$ см.
Длина внешней окружности: $$C_{внешняя} = 2π \times 4 = 8π$$ см.
Длина внутренней окружности: $$C_{внутренняя} = 2π \times 2 = 4π$$ см.
Видим, что $$4π$$ действительно в два раза меньше, чем $$8π$$. Условие выполняется!

Ответ: Радиус всей трубы равен 4 см.