15. Тип 15 № Два каменщика укладывают плиткой два одинаковых участка мостовой, каждый площадью 420 м². Пер вый каменщик в день укладывает на 7 м² плитки больше, чем второй, и выполняет всю работу на 5 дней быстрее. Сколько квадратных метров плитки укладывает в день первый каменщик? Запишите решение и ответ

Краткая запись:

• Площадь одного участка: 420 м²
• Разница в производительности: +7 м²/день
• Разница во времени: -5 дней
• Найти: Производительность первого каменщика (м²/день)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим переменные. Пусть $$x$$ — производительность второго каменщика (м²/день), тогда $$x+7$$ — производительность первого каменщика (м²/день). Пусть $$y$$ — время работы второго каменщика (дней), тогда $$y-5$$ — время работы первого каменщика (дней).
2. Шаг 2: Составим уравнения исходя из общей площади.
• Для второго каменщика: $$x imes y = 420$$
• Для первого каменщика: $$(x+7) imes (y-5) = 420$$
3. Шаг 3: Выразим $$y$$ из первого уравнения: $$y = rac{420}{x}$$.
4. Шаг 4: Подставим выражение для $$y$$ во второе уравнение: $$(x+7) imes (rac{420}{x}-5) = 420$$.
5. Шаг 5: Раскроем скобки и решим уравнение относительно $$x$$:
• $$420 - 5x + rac{2940}{x} - 35 = 420$$
• $$-5x + rac{2940}{x} - 35 = 0$$
• Умножим обе части на $$x$$: $$-5x^2 - 35x + 2940 = 0$$
• Разделим на -5: $$x^2 + 7x - 588 = 0$$
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-588) = 49 + 2352 = 2401$$.
7. Шаг 7: Найдем корни: $$x_1 = rac{-7 + ext{ extrm{sqrt}(2401)}{2(1)} = rac{-7 + 49}{2} = rac{42}{2} = 21$$. $$x_2 = rac{-7 - 49}{2} = rac{-56}{2} = -28$$.
8. Шаг 8: Так как производительность не может быть отрицательной, $$x = 21$$ м²/день (производительность второго каменщика).
9. Шаг 9: Найдем производительность первого каменщика: $$x+7 = 21+7 = 28$$ м²/день.

Ответ: Первый каменщик укладывает 28 м² плитки в день.