Ответ:

1) «Искусство читать — это искусство чувствовать и мыслить»: основа — искусство читать — искусство чувствовать и мыслить. Вариант указан неверно.

2) «А научат этому только те книги...»: основа — книги научат. Вариант неверен.

3) «...утверждал И. Гёте»: грамматическая основа — И. Гёте утверждал. Верно.

4) «Выходит, что ... надо воспитать...»: слово выходит является вводным в значении вывода и не входит в грамматическую основу главной части. Вариант неверен.

5) «Нельзя, чтобы ... прошли ... произведения»: основа придаточной части — произведения прошли; слово нельзя не является грамматической основой. Вариант неверен.

Ответ: 3