15. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 68°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Так как \(AB \parallel CD\), угол между диагональю \(AC\) и стороной \(AB\) равен \(\angle ACD = 68^\circ\). Обозначим длину \(AB\) через \(a\); тогда \(AC = 2a\).

Пусть \(\vec{AC}=\vec p\), а \(\vec{AB}=\vec b\). Тогда вторая диагональ, направленная от точки \(B\) к точке \(D\), задаётся вектором \(\vec{BD}=\vec p-2\vec b\). При этом \(|\vec p|=2a\), \(|2\vec b|=2a\), а угол между \(\vec p\) и \(2\vec b\) равен \(68^\circ\).

В треугольнике с равными сторонами \(AC\) и \(2AB\) угол между ними равен \(68^\circ\), поэтому два остальных угла равны \((180^\circ-68^\circ)/2=56^\circ\). Это и есть меньший угол между диагоналями.

Ответ: 56°.